Polinom soruları ve denklemler... Bu ikisi matematik sınavlarında karşınıza en çok çıkacak kavramlardandır. Bazı denklemlerde karşınıza bölme işlemleri de çıkacaktır. Yani kesirli denklemlerle karşılaşacaksınız. Bu durumda şunu hemen hatırlatalım:

Bölüm ancak pay sıfır ve payda sıfırdan başka bir sayı olduğunda sıfırdır.

Neden mi? Çünkü sayıları sıfıra bölemeyiz!

Denklem formül matematik bölme
Denklemler ve kesirlere alıştıktan sonra soruları bulmaca çözer gibi çözeceksiniz! | Kaynak: Visualhunt

Şimdi biraz da bu durumda matematik problemlerini nasıl çözebileceğimize bakalım. Bölme işlemli denklemleri çözerken yapacağınız en iyi şey, önce kesirden kurtulmak olacaktır. Bunlar size fazlasıyla karmaşık gelebilir. Ankara özel ders öğretmeni veya hangi şehirde yaşıyorsanız tecrübeli bir öğretmen ile daha kolay olacaktır.

Burada da denklemleri çözerken uyguladığımız yöntemi aynen uygulayacağız. Eşitliğin her iki tarafının da bize aynı sonucu vereceğini hatırlayın.

Hemen bir örnekle devam edelim:

(x)/(x+1) = (x-1)/(x+2)

Bu ilk bakışta zor gelebilir ancak aslında çözümü çok kolay. Rasyonel sayılarla birlikte normal çözümlerde takip ettiğimiz adımları takip edeceğiz: x'i yalnız bırakacağız ve eşitliğin sonucunu sıfır bulacağız!

Az önce de dediğimiz gibi hiçbir şeyi sıfıra bölemeyiz. Bu nedenle paydalardan kurtulmaya çalışacağız.

Önce eşitliğin sol tarafındaki paydadan kurtulmakla başlayalım:

(x(x+1))/(x+1) = (x-1(x+1))/(x+2)

Doğrusal denklem örneğinde yaptığımız gibi her iki tarafı da (x+1) ile çarpacağız ki paydadan kurtulalım. Soldaki kesri (x+1) ile çarptığımızda payda ile birbirini götürecek. Böylece elimizde şöyle bir denklem kalacak:

x = (x-1(x+1))/(x+2)

Artık x'i yalnız bıraktığımıza göre denklem daha kolay görünüyor, değil mi? Şimdi aynı yöntemi kullanarak sağdaki paydadan da kurtulalım:

x(x+2) = ((x-1)(x+1)(x+2))/(x+2)

Bu noktada işleri daha da karıştırdık gibi görünüyor ama merak etmeyin, paydadan kurtulmak çok işimize yarayacak. Az önce sol tarafta yaptığımız gibi sağı da (x+2) ile çarptığımızda payda ile birbirini götürecek. Böylece bölme işleminden kurtulmuş olacağız.

Şimdi bu denklemi biraz daha basit göstermek için o çarpı işaretinden de kurtulalım. Denklemleri çözmeye başladıysanız zaten o işareti kullanmamız size garip gelmiştir!

x(x+2) = (x-1)(x+1) x(x+2) = (x-1)(x+1)

Gördüğünüz gibi ikisi de aynı denklem ama ilk satırdaki daha düzenli duruyor ve daha az kafa karıştırıyor. Böylece denklemimizdeki tek x bilinmeyen x olacak!

Bu denklemin sonunu getirmek için biraz daha detaya girmek gerekiyor. Superprof'taki özel matematik ders öğretmenlerinden online dersler alarak denklemler konusunda kendinizi geliştirmeye ne dersiniz?

En iyi Matematik öğretmenleri müsait
Mustafa
5
5 (20 yorum)
Mustafa
₺120
/saat
Gift icon
İlk ders ücretsiz!
Eren
5
5 (33 yorum)
Eren
₺150
/saat
Gift icon
İlk ders ücretsiz!
Yağmur
5
5 (20 yorum)
Yağmur
₺150
/saat
Gift icon
İlk ders ücretsiz!
Dogan
5
5 (24 yorum)
Dogan
₺125
/saat
Gift icon
İlk ders ücretsiz!
Hd
5
5 (14 yorum)
Hd
₺250
/saat
Gift icon
İlk ders ücretsiz!
Can
5
5 (23 yorum)
Can
₺270
/saat
Gift icon
İlk ders ücretsiz!
Salim
5
5 (19 yorum)
Salim
₺150
/saat
Gift icon
İlk ders ücretsiz!
Salih firat
5
5 (12 yorum)
Salih firat
₺120
/saat
Gift icon
İlk ders ücretsiz!
Mustafa
5
5 (20 yorum)
Mustafa
₺120
/saat
Gift icon
İlk ders ücretsiz!
Eren
5
5 (33 yorum)
Eren
₺150
/saat
Gift icon
İlk ders ücretsiz!
Yağmur
5
5 (20 yorum)
Yağmur
₺150
/saat
Gift icon
İlk ders ücretsiz!
Dogan
5
5 (24 yorum)
Dogan
₺125
/saat
Gift icon
İlk ders ücretsiz!
Hd
5
5 (14 yorum)
Hd
₺250
/saat
Gift icon
İlk ders ücretsiz!
Can
5
5 (23 yorum)
Can
₺270
/saat
Gift icon
İlk ders ücretsiz!
Salim
5
5 (19 yorum)
Salim
₺150
/saat
Gift icon
İlk ders ücretsiz!
Salih firat
5
5 (12 yorum)
Salih firat
₺120
/saat
Gift icon
İlk ders ücretsiz!
Başlayın

Polinom ve Polinom Denklemler

Polinom denklemlerle geçmeden önce kısaca polinom konu anlatımı yapalım.

Polinom nedir? n bir doğal sayı, a0, a1, a2, a3….a gerçek sayılar olmak üzere P(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3+….+anxn şeklindeki ifadelere gerçek katsayılı ve bir değişkenli polinom denir.

  • a0, a1, a2, a3….a n polinomun katsayılarıdır.
  • Kat sayılar toplamı için bir polinomda x yerine 1 konulur.
  • a0, a1x, a2x2, a3x3….anxn  polinomun terimleridir.
  • x’in en büyük kuvveti olan doğal sayıya P(x) polinomunun derecesi denir.
  • a0 polinomun sabit sayısıdır.
  • Sabit terim için bir polinomda x yerine 0 konulur.
  • x değişkeni bulundurmayan, c bir gerçek sayı olmak üzere P(x)=c polinomuna sabit polinom denir.
  • Sıfır polinomu sabit polinomun özel hâlidir. P(x)=0 polinomuna sıfır polinomu denir.
  • Sabit polinomun derecesi sıfırdır.
  • Sıfır polinomunun derecesi belirsizdir.
  • Tek dereceli terimlerin katsayılar toplamı aşağıdaki formülle bulunur:
parabol konu anlatımı formül

Her polinom bir denklemdir ancak her denklem bir polinom değildir!

Polinomlar da denklemlerin başka bir türüdür. TYT ve AYT sınavlarına hazırlanırken karşınıza sık sık çıkacaktır.

Altın kural şu:

Çarpanlardan en az biri sıfır ise çarpım da sıfırdır.

Yani bu tarz denklemler çözerken çarpanlarla işlemler yapacaksınız. Polinom denklemleri çözerken yapmanız gereken en önemli şey, mümkün olduğunca parantezlerden kurtulmak olacaktır. Bunu da iki parantezin içindekileri birbirleriyle çarparak yapabilirsiniz. Polinom çıkmış sorular çözerek bu konuda bol bol pratik kazanabilirsiniz.

Şimdi az önce bahsettiğimiz bölmeli denklemlerde yaptığımız işleme devam ederek polinom denklemleri de açıklığa kavuşturalım.

Kesirli Denklemler Devamı

x(x+2) = (x-1)(x+1)

İşlemimiz burada kalmıştı. Neler yapmıştık?

  • Her iki tarafı da sol tarafın paydasındaki değerle çarptık.
  • Her iki tarafı da sağ tarafın paydasındaki değerle çarptık.
  • Çarpı işaretini ve paydaları ortadan kaldırıp denklemi sadeleştirdik.

Şimdi elimizde polinom denklem kaldı. Az önce polinom denklemlerde ne yapacağımızdan bahsetmiştik. Parantezlerden kurtulacağız ki x'i yalnız bırakabilelim!

Bu denklemin aynı zamanda ikinci dereceden denklem olduğunu da söylemeden geçmeyelim. Çünkü x’in aldığı en büyük üst 2 olacak.

Yine soldan başlayalım. Burada işimiz kolay. x'i parantez içindekilerle çarparak parantezden kurtulacağız. Şimdilik sağ kısmı unutalım.

Terazi denge eşitlik
Matematikte denklemleri bir terazi gibi düşünebilirsiniz. İki tarafın da değeri aynı olmazsa eşitlik bozulur! | Kaynak: Visualhunt

Sol Taraf

x(x+2)

Önce bu kısmı iyice sadeleştirelim. Sağ kısmı düşünmeyin.

Parantezlerden kurtulmak için x'i hem x ile hem de +2 ile çarpacağız. Sonuç:

x^2 + 2x

Sağ taraf da bize aynen bu sonucu verecek. Yani yeni eşitliğimiz şöyle:

x^2 + 2x = (x-1)(x+1)

Unutmayın, bu ilk yazdığımız denklemle aynı şey:

x(x+2) = (x-1)(x+1)

Sağ Taraf

Şimdi gelelim diğer tarafa. Burası biraz daha çetrefilli görünecek. Çünkü iki tane parantezimiz var. Burada içler dışlar çarpımı dediğimiz bir tekniği uygulayacağız.

Yani parantezlerin içindeki her bir değeri diğer parantezin içindeki değerlerle çarparak dışarı çıkaracağız. Gösterince daha iyi anlayacaksınız:

Cross-multiplying

İlk parantezdeki x'i, ikinci parantezdeki x ve +1 ile çarpacağız. Daha sonra -1'i ve x ve +1 ile çarpacağız. Bu da bize şöyle bir sonuç verecek:

x * x = x^2 x * 1 = x -1 * x = -x -1 * 1 = -1

Şimdi bu ikisini bir araya getirelim ve sağ tarafı sadeleştirelim:

x^2 + x - x - 1

Sonuç

Korkmayın, artık çok bir işimiz kalmadı! Şimdi sol tarafla sağ tarafı birleştirip işlemimizi bitirelim:

x^2 + 2x = x^2 + x - x - 1

Unutmayın, bu ilk yazdığımız denklemle aynı denklem. Sadece parantezlerden kurtulduk.

Artık elimizde daha sade bir eşitlik var. Hatta daha da sadeleştirelim:

x^2 + 2x = x^2 - 1

+x ve -x birbirini götürdü, değil mi?

Artık x'i yalnız bırakmaya dönebiliriz.

Bir eşitliğin her iki tarafına da istediğimiz değeri ekleyip çıkarabileceğimizi, bölüp çarpabileceğimizi daha önce de söylemiştik.  xden kurtulmak için -xeklemeye ne dersiniz?

x^2 + 2x - x^2 = x^2 - 1 - x^2

Şimdi +xve -xler birbirini götürecek ve elimizde çok basit bir eşitlik kalacak!

2x = - 1

Harika! Artık x'i yalnız bırakmak için yapmamız gereken tek şey her iki tarafı da 2'ye bölmek. Böylece x'in yanındaki 2'den kurtulabileceğiz.

x = -(1/2)

İşlem tamam!

Polinom Denklemlerin Grafikleri

İster üçgen, ister dörtgen, ister çokgen! Herhangi bir şekli doğru denklemlerle cebirsel ifadeleri kullanarak bir grafik üstünde çizebileceğinizi biliyor muydunuz?

Denklemleri çözerken hangi adımları izlediğimizden bahsettiğimize göre polinom denklemlerin grafiğini nasıl çizebileceğinizi kısaca anlatalım.

Üssü iki veya daha fazla olan en az bir değişkeni olan denklemlere polinom denklemler denir.

Bu aşağıdaki denklem türlerini de içerir:

  • Asimptotik denklemler
  • Trigonometrik fonksiyonların denklemleri
  • Logaritmik denklemler

Peki, bu tarz bir denklemin grafiğini nasıl çizebiliriz? Matematik özel ders ile detaylı öğrenebilecek olsanız da, bu adımda bir eğrinin ekstremum noktalarını (minimum ve maksimum değerlerini) bulmalı ve ardından eğriyi çizmeliyiz.

Matematik online ders
Online derslerle matematikte anlamadığınız yerleri tekrar etme fırsatı yakalayabilirsiniz! | Kaynak: Pixabay

Bunun için bir "x" değerlerini denklemde yerine koyup "y" değerlerini bulabiliriz. Daha sonra kabaca eğrinin şeklini belirleriz. Böylece minimum ve maksimum değerlere ulaşabiliriz.

Orijinal denkleminize f(x) diyeceğiz ve türev fonksiyonuna f'(x) diyeceğiz. İzlememiz gereken adımlar şöyle:

  • F(x) değerinin türevini alın.
  • Eğrinin minimum ve maksimum değerlerini bulmak için f'(x) i çarpanlarına ayırın.
  • Eğri üzerindeki noktaları bulmak için değerleri f(x) ile değiştirin.
  • Bu noktaları bir grafikte işaretleyin.
  • Minimum ve maksimum noktalara ulaştığınızdan emin olduktan sonra eğrinizi çizin.

Her zaman olduğu gibi burada da kilit nokta ayrıntılardır. Noktaları grafikte doğru şekilde işaretlediğinizden ve eğrinizin minimum ve maksimum noktalardan geçtiğinden emin olun.

Bu polinomlar konu anlatımı, grafik çizme, türev alma vs. hâlâ kafanızı karıştırıyorsa özel bir Ankara matematik öğretmeni yardımına danışabilirsiniz. Hangi kaynakla daha iyi hazırlanabileceğinizi öğrenebilirsiniz. Birlikte denklemler ve polinomlar çıkmış sorular çözebilir, hızlıca ilerleme kaydedebilirsiniz.

>

Özel ders öğretmenleri ve öğrencilerini buluşturan platform

İlk ders ücretsiz

Bu yazıyı beğendiniz mi? Puanlayın!

5,00 (1 puanlama)
Loading...

Seda

Spor yapmayı, film izlemeyi seven; farklı bir kültürü keşfederken ilk yemeklerini deneyen bir çevirmenim.