Matematik hem öğrenciler hem de yetişkinler için zor bir konu olabilir. Ancak eğitiminizin temelini oluşturan bu alanda kendinizi geliştirebilirseniz akademik hayatınızda başarılı olma yolunda önemli bir adım atmış olursunuz!

İster ortaokulda ister lisede olun, matematik problemleri çözmekten kaçamayacaksınız: Temel aritmetikten denklemlere, cebire, geometriye ve kesirlere kadar her yerde karşınıza çıkacak!

Eğitim hayatınızın ileri dönemlerinde matematik sayesinde problem çözme becerileriniz gelişecek ve zihinsel yetileriniz güçlenecek. Böylece matematikle alakalı olsun olmasın, bir işi yaparken veya bir görevi yerine getirirken daha başarılı olacaksınız!

Bununla birlikte sınavlarda sürekli karşınıza çıkacak, matematiğin anahtar konularından birinden bahsetmenin zamanı geldi: Denklem çözme!

Elinizde hesap makineniz ve biraz azimle bu makalenin sonunda denklem çözmeyi öğrenmiş olacaksınız. Daha da önemlisi polinom, doğrusal veya kesirli denklemler içeren matematik problemlerini çözmede kendinizi geliştireceksiniz.

Denklem Nedir?

Her konuda olduğu gibi denklem çözebilmek ve grafiklerini çizebilmek için öncelikle terminolojiye hâkim olmalıyız.

Matematik öğretmeniniz muhtemelen size matematikte başarılı olmak için matematiksel terimleri öğrenmeniz gerektiğini söyleyecektir. Çok haklı!

Peki, denklem nedir? Türk Dil Kurumuna göre tanımı:

İçinde yer alan bazı niceliklere ancak uygun bir değer verildiği zaman sağlanabilen eşitlik, muadele

Artık denklem çözmede ihtiyacınız olacak tüm kavramları biliyorsunuz:

  • İki cebirsel ifade arasındaki eşitlik
  • Bir veya daha fazla bilinmeyen
  • "x" adındaki değişken
  • Problem çözme becerisi

İster doğrusal ister ikinci dereceden bilinmeyenli denklem olsun, bu tarz problemleri çözmek için terimleri ortak paranteze almayı bilmeli ve üslü sayılar konusuna hâkim olmalısınız.

Matematik Denklemleri Çözmek için Gereken Beceriler

Denklem çözebilmek için matematik çalışmalarınıza eklemeniz gereken bazı beceriler vardır. Mesela akademik kariyeriniz boyunca ihtiyacınız olabilecek ve daha iyi bir matematikçi olmanızı sağlayacak "problem çözme becerisi".

Problem Çözme Becerisi

Çok sayıda öğrenci ve yetişkin matematiğin günlük yaşamlarında faydasını görmediğini düşünür  ve bunu sadece akademik bir ders olarak görür.

Aslında matematik, bu konuda kendinize pek güvenmiyor olsanız bile günlük yaşamımızın ayrılmaz bir parçasıdır. Yiyeceklerden ev satın almaya, banka hesabı açmaya, ders çalışmaya kadar matematik hayatımızın her yerinde. Farkına varmadan toplama, çıkarma ve çarpma yapıyor ve hatta denklem çözüyoruz!

Okuldaki matematik öğretmeniniz (veya özel matematik öğretmeniniz), hayatınızın geri kalanında size yardımcı olabilecek becerileri edinmenizi sağlayacaktır.

İşte problem çözme tutumunu benimsemenin kilit noktaları:

Tamamen Anlayın
Matematiksel bir problemle başa çıkmak için konuyu tamamen anlamalı ve tüm önemli adımları takip etmelisiniz. Özellikle de denklem olan soruları. Matematik problemleri çözerken veya bir sınavda net olmanız, metodik ve mantıksal hareket etmeniz gerekir.

Hafızanız Güçlü Olsun

Matematikçiler hafızalarını güçlü tutmalıdır! Düzenli pratikle sınıfta gördüğünüz konuları iyice kavrayıp problem çözerken bu konuları uygulamaya dökebilirsiniz. Bol bol soru çözerseniz farklı soru tipleri hakkında fikir edinmiş olursunuz. Bu da karşınıza benzer bir soru geldiğinde sonuca daha kolay ulaşmanızı sağlar.

Denklem kurma problemleri için hafızanın önemi
Matematik alıştırmalarıyla hafızanızı güçlendirin! | Kaynak: Unsplash

Organize Olun!

Denklem çözmek için belli adımları takip etmeniz gerekir. Ders çalışma alanınızda organize olup sorulara odaklanarak matematikte karşınıza çıkan problemleri daha rahat çözebilirsiniz.

Matematik Denklemlerini Ne Zaman Öğreniriz?

İlkokulda sayı saymayı ve temel matematiği öğreniriz. Sayılarla toplama, çıkarma ve çarpma yapmayı öğreniriz. Yani temel aritmetiği. Hatta grafikle ilgili temel bilgiler ediniriz. Bu edindiğimiz bilgiler matematikte sağlam bir temel oluşturmamızı sağlar ve daha sonra denklemleri çözerken bize yardımcı olur.

Denklemler için grafik çizimi
Bazı üstel ve ikinci dereceden bilinmeyenli denklemler grafik çizerek çözümlenebilir. | Kaynak: Unsplash

Denklemler genelde ortaokulda karşımıza çıkmaya başlar. Bir bilinmeyenli basit denklemler çözmeyi öğreniriz. Bu sırada karşınıza çıkabilecek denklemlere bir örnek:

7x + 5 = 3x - 15

Burada yapmanız gereken "x"i bulmak olacak.

Birkaç yıl sonra ise denklemlerde kesirler ve negatif sayılar karşınıza çıkar. Böyle bir denkleme bir örnek:

\frac{(8x-6)}{9} - \frac{(-10x-6)}{6} = \frac{(x-5)}{4}

Üniversiteye hazırlanırken matematik problemlerinin zorluğu gittikçe artar. Denklemler daha karmaşık hâle gelir ve birçok yeni teknik öğrenirsiniz. Karesini almayı, değer vermeyi, ortak paranteze almayı ve grafik çizmeyi vs. göreceksiniz. Ayrıca karmaşık sayılar konusuna geçeceksiniz.

Hepsi bu kadarla bitmiyor tabii. Matematik veya bilim alanında ilerlemeye devam etmeye karar verirseniz daha zor problemlerle de karşılaşacaksınız!

Başlarda tek bilinmeyenli basit denklemleri çözmek kolay bilebilir ancak ilerleyen dönemlerde daha karmaşık denklemler karşınıza çıkacak. Bu gibi problemlerde daha önce öğrendiğiniz başka matematik konularındaki bilginiz de test edilecek. Bu nedenle her dersi dikkatlice dinlediğinizden emin olun.

Doğrusal Denklem Çözme

Doğrusal denklemler, karşınıza çıkacak denklemlerin ilkidir. Çözmesi en kolay denklemlerdir.

Temel olarak doğrusal denklemlerde ilkokuldan beri öğrendiğiniz dört işlem yapmanız istenir: Toplama, çıkarma, çarpma ve bölme.

Bir bilinmeyenli bir denklem çözmeniz isteniyorsa hedefiniz çok basit: "x"i yalnız bırakıp değerini bulacaksınız.

Basit bir denklemde şu adımları takip edebilirsiniz:

  • "x"i yani bilinmeyeni eşitliğin bir tarafında yalnız bırakın
  • Ortak terimleri gruplayın
  • "x"in katsayısından kurtulmak için her iki tarafta da bölme işlemi yapın
  • Çözümü yazın

Bu adımları bir örnek üzerinden inceleyelim:

(3x - 5) = (-x + 2)

"x"leri eşitliğin bir tarafında topluyoruz.

3x + x = 5 + 2

"x"i yalnız bıraktık.

4x = 7

Ortak terimleri grupladık.

x = 7/4

Her iki tarafı da 4'e bölerek "x"in katsayısından kurtulduk.

Tebrikler! Artık matematik tarihinin ünlü doğrusal denklemlerini nasıl çözeceğinizi biliyorsunuz!

Bu konu da bize ünlü matematikçi Diophantus'un mirası!

M.S. 5. yüzyılda yaşamış olan Metodorus'un Yunan Antolojisi adlı eserinde Diophantus'un öldüğü yaşla ilgili bir bilmece vardır. Yine bir denklem oluşturarak çözebileceğiniz bu bilmeceye göre Diophantus öldüğünde 84 yaşındaydı!

Doğrusal denklemleri çözmeyi tam olarak öğrenmek için olabildiğince pratik yapıp soru çözün. Böylece karşınıza daha karmaşık denklemler çıktığında öylece takılıp kalmazsınız.

Çarpanlarına Ayrılmış Denklem Çözme

Çarpanlarına ayrılmış denklemler polinom denklemlere girer. Ve bu denklemleri matematiğin ilerleyen dönemlerinde ikinci dereceden denklemler olarak görürsünüz.

Bu tarz denklemlere örnek:

"x" daima bilinmeyen değişkendir. "a,b,c,d" ise problemde verilen sayı veya rakamlardır. Matematik derslerinde öğretmenler genelde şöyle der:

Ancak ve ancak parantezlerden birinin sonucu "0" ise denklemin sonucu "0" olur.

Bunun doğruluğunu test etmek için içinde "x" bilinmeyeni olan denklemlerden bol bol çözün!

Hep söylüyoruz: Denklem çözmeyi öğrenmenin en iyi yolu pratik yapmaktır!

Çarpanlarına ayrılmış denklemlere bir örnek:

Gördüğünüz gibi denklemin sonucu "0". Bu da demek oluyor ki çarpanlardan yani parantezlerden birinin sonucu da 0 olmalıdır.

Bunun için her iki parantezi de 0'a eşitleyelim:

3x + 4 = 0

3x = 4

x = 4/3

Diğer paranteze geçelim:

2x - 5 = 0 2x = 5

Ve "x"in katsayısından kurtulmak için her iki tarafı da 2'ye bölüyoruz:

x = 5/2

Bu durumda "x" için iki değerimiz var. Buna çözüm kümesi denir. Yani "x" ya 4/3 olacak ya da 5/2.

Matematikte kendinizi geliştirmek için ikinci dereceden denklem çözmeyi öğrenmeniz çok önemlidir. Bu denklemleri çözmeyi beceremiyorsanız daha zorlu denklemlerde işin içinden çıkamazsınız. Belki de tek yapmanız gereken konunun başına dönüp çalışmaya tekrar doğrusal denklemlerden başlamak!

Kesirli Matematik Denklemleri

Matematikte kesirli ve doğrusal denklemler çözme
Denklemler konusunda zorlanıyorsanız özel bir matematik öğretmeninden yardım almayı düşünebilirsiniz. | Kaynak: Unsplash

Kesirli denklemler için de bir kuralımız var. Şöyle:

Ancak ve ancak pay "0" ise sonuç "0"dır. Payda "0" olduğunda işlem tanımsızdır.

Bu tarz bir denklem karşınıza şöyle çıkacaktır:

Bu denklemleri çözmek için şu adımları izleyebilirsiniz:

  • İşlemi tanımsız yapacak değerleri eleyin
  • İşlemleri sadeleştirin
  • Tüm değerleri eşitliğin bir tarafına toplayın ki sonuç sıfır olsun
  • Denklemi çözün
  • Çözüm kümesini bulun

Kesirli denklem çözmeye bir örnek verelim. Kesirden kurtulup işlemi kolaylaştırmak için içler dışlar çarpımı tekniğini kullanacağız.

(x)/(x+1) = (x-1)/(x+2)

Öncelikle kesirden kurtulmaya çalışalım:

(x(x+1))/(x+1) = (x-1(x+1))/(x+2)

Tıpkı yukarıdaki doğrusal denklem örneğimizde iki tarafı aynı sayıya böldüğümüz gibi burada iki tarafı da (x+1) ile çarptım. İçler dışlar çarpımında bu değerler birbirini götüreceğinden işimiz kolaylaşacak:

x = (x-1(x+1))/(x+2)

İşlemimiz şimdiden daha kolay görünüyor. Şimdi eşitliğin bir tarafında tek bir "x" bıraktık ve kesirden kurtulduk. Sağ taraftaki kesirden de aynı tekniği kullanarak kurtulmaya çalışalım:

x(x+2) = ((x-1)(x+1)(x+2))/(x+2)

Eşitliğin sağ tarafındaki kesirden de kurtulduğumuzda ortaya çok daha basit bir denklem çıkıyor:

x(x+2) = (x-1)(x+1)

Artık tek yapmamız gereken denklemi "0"a eşitlemek. Her iki tarafı da (x-1)(x+1)'e bölebiliriz ancak bir tarafta tekrar bir kesir elde etmiş oluruz. Onun yerine paranteze dağıtma tekniğini kullanalım. Bunu yaparken parantezin dışındaki her şeyi parantezin içindeki tüm terimlerle çarpmamız gerekecek. Sol tarafta işimiz kolay:

x(x+2)

"x"i dağıtıyoruz ve:

x^2 + 2x

Ortada bir eşitlik söz konusu olduğundan her iki tarafın da x² + 2x olması gerektiğini biliyoruz.

Ancak sağ tarafta işler biraz daha zorlaşıyor. Yine aynı dağıtma tekniğini kullanacağız.

Şöyle bir diyagram çizelim:

Cross-multiplying

Kırmızı çizgiler ilk parantezin ilk terimiyle (yani x ile) yapacağımız dağıtma işlemlerini, mavi çizgiler ikinci terimle (yani -1 ile) yapacağımız işlemleri gösteriyor.

İlk parantezdeki "x" ile yapacağımız işlemler şu şekilde:

x * x = x^2 x * 1 = x

"-1" ile yapacağımız işlemler ise şöyle:

-1 * x = -x -1 * 1 = -1

Bu iki ifadeyi birleştirdiğimizde sağ tarafta şöyle bir denklem kalıyor:

x^2 + x - x - 1

Şimdi sol ve sağ tarafı yerlerine koyup asıl denkleme geri dönelim:

x^2 + 2x = x^2 + x - x - 1

Denklem hâlâ aynı denklem, sadece kesirlerden kurtulduk. Şimdi denklemin her iki tarafına x veya x² ekleyip çıkarabiliriz. Böylece işlemimiz sadeleşecek:

x^2 + 2x - x^2 = x^2 - 1 - x^2

Bazı değerler birbirini götürdükten sonra denklemin son hâli şöyle olacak:

2x = - 1

Artık tek yapmamız gereken her iki tarafı "x"in katsayısına bölmek:

x = -(1/2)

Böylece ikinci dereceden bilinmeyenli denklemimizi çözmüş olduk.

Çözüm kümesi olmayan denklemlerin de olabileceğini unutmayın!

Kesirli denklem sorularında daha önce bahsettiğimiz konular karşınıza çıkabilir: İkinci dereceden denklemler, üslü sayılar, katsayılar, rasyonel ve irrasyonel sayılar.

Denklem Kurarak Problem Çözme

Bazen bir problemin denklemini kurmanız istenebilir. Endişelenmeyin, düşündüğünüz kadar zor olmayacak. Temelde tek yapmanız gereken kendi dört işlem probleminizi oluşturmak olacak.

Denklem kurma problemleri çözmenin çok basit bir tekniği var. Doğru cevabı bulmak için adım adım ilerlemeniz gerekecek:

  • Problemi anlayana kadar birkaç kez okuyun
  • Problemde verilen bilinmeyen(ler)i belirleyin
  • Gereksiz bilgileri çıkarak soruda verilen bilgileri matematiksel terimlerle ifade etmeye çalışın
  • Yazdığınız denklemi çözün
  • Cevabın doğru olup olmadığını kontrol edin

Bazen geometride de böyle sorular karşınıza çıkabilir. Merak etmeyin, aynı adımları izlemeniz gerekecek. 

Denklem kurma problemlerine bir örnek verelim:

"Ahmet, Umut ve Emre'nin yaşları toplamı 60. Kaç yaşında Emre'nin yaşı Umut'un yaşının üç katı, Ahmet Emre'den 10 yaş küçük olacaktır?"

Bu soruda bilinmeyenler bu üç kişinin yaşları. Şimdi bu problemi denklem kurarak çözmeye çalışın!

Matematik becerilerinizi geliştirip mükemmelleştirmek istiyorsanız denklem bilginizi tazeleyebilir veya geometride yeni konular öğrenmeye başlayabilirsiniz!

Bugün incelediğimiz örneklerde sadece rasyonel sayılar vardı ve hiç eşitsizlik yoktu. Ancak eşitsizliklerde de aynı işlemlerin yapıldığını unutmayın. Tek yapmanız gereken eşittir işaretini eşitsizlik işaretiyle değiştirmek olacak.

Eşitlikler ve eşitsizlikler neden mi bu kadar önemli? Çünkü bu konular matematik bilginizin temelini oluşturur. Ayrıca kalkülüs ve matris çalışırken bu konulardan yararlanacaksınız.

Tamsayılar, ondalık sayılar, rasyonel sayılar ve farklı denklem türlerinin olduğu problemleri çözmeyi öğrendiğinizde matematiğin ilerleyen dönemlerinde doğrusal, üstel veya ikinci bilinmeyenli denklemleri çözmek çok kolay olacak!

Bir matematik özel ders öğretmeninden özel dersler alarak da kendinizi geliştirebilirsiniz. Öğretmeniniz size kendi seviyenize ve öğrenme tarzınıza göre ders anlatarak ilerleme kaydetmenizi sağlayabilir. Grafik çizmeyi öğrenebilir, denklem ve eşitsizlikler konusunu daha iyi anlayabilirsiniz.

Eşitsizliklerin olabileceği gibi çözülemeyen matematik soruları da vardır. Siz yine de karşınıza çıkan problemleri çözmek için elinizden geleni yapın!

 

Matematik öğretmenine mi ihtiyacınız var?

Makaleyi beğendiniz mi?

5,00/5, 1 votes
Loading...

Seda

Spor yapmayı, film izlemeyi seven; farklı bir kültürü keşfederken ilk yemeklerini deneyen bir çevirmenim. Yeni bir dil öğrenmekse hobilerim arasında.