Fonksiyonlar matematiğin ilerleyen dönemlerinde karşınıza çıkacaktır. Bu tarz matematik problemlerinde polinom, üstel, logaritmik veya trigonometrik denklemleri öğrenirsiniz.

Fonksiyon konusunda fonksiyonun değişim hızını ve limitlerini öğrenirsiniz. Fonksiyonun ekstremum noktalarını ve (varsa) asimptotlarını görürsünüz. Ayrıca fonksiyon grafiği çizme de öğreneceklerinizin arasında.

Fonksiyon konusu sınavlarda hemen hemen her yıl karşımıza çıkıyor. Bu nedenle matematik öğrenirken bu konudaki becerilerinizi geliştirmeniz oldukça önemlidir.

Fonksiyon türevi gibi zor konuları öğrenme
Matematik, hayatınızın her yerinde karşınıza çıkabilecek önemli bir disiplindir. Her konuya özveriyle yaklaşmalısınız. | Kaynak: Unsplash

Bir fonksiyon örneği olarak:

Fonksiyonun Diferansiyeli

f(x) fonksiyonu 3 terimden oluşan bir polinom fonksiyondur. Şimdi diferansiyele bir örnek verelim:

d/dx = an^n-1

Bu bilgilerle denklemimizin diferansiyeli şu şekilde olacaktır:

Türevi Çarpanlarına Ayırma

Bu adımda amacımız türevi mümkün olduğunca sadeleştirmektir. Ancak çarpanlara ayırmak her zaman mümkün olmayabilir. Mümkünse türevi mutlaka çarpanlarına ayırın. Daha sonra çok işinize yarayacaktır.

Denklem çözmeyi anlattığımız makalemiz sayesinde çarpanlara ayırma konusuna zaten aşinasınız!

Peki, fonksiyon formülleri ile çarpanlara ayırma arasındaki nasıl bir bağlantı var?

Yukarıdaki türeve baktığımızda her bir terimin ortak çarpanının 3 olduğunu görüyoruz. Böylece denklemi şu şekilde sadeleştirebiliriz:

Parantez içine baktığımızdaysa ikinci dereceden bilinmeyenli bir denklem görüyoruz! Daha önceki blog yazılarımızı okuduysanız ikinci dereceden bilinmeyenli denklemleri anlattığımız makalemizi hatırlamışsınızdır.

İpucu: İkinci dereceden bilinmeyenli denklemdeki değerlerin yerine diskriminantını kullanın. Bulduğunuz değer 0'dan büyükse denklemin iki farklı çözümü var demektir. Bulduğunuz değer 0 ise tek bir çözüm var:

Bu denkleme göre 16 0'dan büyük olacağından iki farklı çözümümüz olacak. Yukarıdaki denklemi elde etmek için  (x+a)(x-b) yerine koyabileceğiniz iki sayıyı da deneyin. Çözüm şöyle olacak:

Yani çarpanlara ayırma işlemimizin sonucu (x+3)(x-1) olacak. Parantez dışında kalan 3'ü ise daha önce yaptığımız çarpanlara ayırma işleminde bulmuştuk.

Türev Grafiği Çizme

Denklemin analizini yaparak grafiğin bazı özelliklerini çizmeden belirleyebiliriz.

Fonksiyon türevi grafiği çizme
Matematiğin bu kısmında zorlanabilirsiniz ama yapamayacağınız bir şey yok! | Kaynak: Unsplash

Parantezlerden biri (x+3). Buradan anlayabiliyoruz ki y değerimiz 0 ise grafiğimiz x ekseninde -3'ten geçecek. Eğer x değeri -3'ten büyükse y kesimi negatif olacak. Ancak x değeri -3'ten küçükse y kesimi pozitif olacaktır.

Diğer parantez ise (x-1). Bu durumdaysa tam tersi geçerli oluyor: Eğer x değeri 1'den büyükse y kesimi pozitif olacak. Ancak x değeri 1'den küçükse y kesimi negatif olur.

Asıl denklemimize dönersek bilmemiz gereken bir teorem var:

 

Bir fonksiyonun türevi 0'a eşitse fonksiyonun yerel minimum veya maksimum noktası vardır.

 

x = -3 ve x = 1 olduğunda fonksiyon türevi 0'a eşit oluyor, bunu öğrendik. Bu fonksiyondaki yerel minimum veya maksimum noktaları bulmak için bu değerleri denkleme yerleştirip y eksenindeki karşılıklarını bulun.

Bunun sonucunda bulacağınız değerler (-3, 33) ve (1, 1) olacak.

Asıl soru şu: Hangi nokta minimum, hangi nokta maksimum? Bunu öğrenmek için grafiği çizebilirsiniz. Veya 33'ün 1'den daha büyük olduğunu düşünürsek 33'ün maksimum nokta olduğunu anlayabiliriz.

Grafik Çizme

Harika! Fonksiyonun minimum ve maksimum noktalarını hesaplamak için türev kullanmayı öğrendik.

Son adım türev grafiği çizmek olacak. Bunun için öncelikle grafikte maksimum ve minimum noktaları işaretleyin. Çizeceğiniz çizginin bu iki noktadan geçmesi gerekiyor. Ortaya çıkacak şeklin garip olması sizi şaşırtmasın!

Üç terimli denklemlerin genel şeklini zaten biliyor olabilirsiniz. Ancak yine de minimum ve maksimum noktaları önceden işaretlemenizde fayda var. Daha sonra yapmanız gereken tek şey bu noktaları birleştirmek olacak.

Seçtiğimiz değerler şunlar:

  • x -> f(x)
  • -5 -> 1
  • -2 -> 28
  • -1 -> 17
  • 0 -> 6
  • 5 -> 161

Şimdi elimizde maksimum ve minimum noktalar arasında birleştirmemiz gereken noktalar var. Grafiğini çizecek olursak:

Fonksiyon grafiği çizme ve ekstremum noktalar
Fonksiyonun grafiği

Özet

Matematik birçok konuyu kapsayan bir disiplindir. Bu makalede fonksiyon grafiği çizmeyi öğrenmek için temel matematik kurallarından bahsettik. Tabii ki öğrenmeniz gereken daha çok şey var ancak sınavlarda tabii ki hepsi karşınıza çıkmayacak.

Hâlâ fonksiyon konusunda kendinize güvenemiyorsanız özel matematik öğretmeniyle çalışmaya başlayabilirsiniz. Superprof'ta yüzlerce matematik öğretmeni arasından size en uygun olanıyla kendinizi geliştirebilirsiniz. Kim bilir, belki buradan başlayıp çözülemeyen matematik sorularından birini kanıtlamaya kadar ilerlersiniz!

Matematik problemleri zor görünebilir. Ancak doğru yardımla ve eğitimle başarılı olamayacağınız hiçbir konu yok!

 

Matematik öğretmenine mi ihtiyacınız var?

Makaleyi beğendiniz mi?

5,00/5 - 1 vote(s)
Loading...

Seda

Spor yapmayı, film izlemeyi seven; farklı bir kültürü keşfederken ilk yemeklerini deneyen bir çevirmenim. Yeni bir dil öğrenmekse hobilerim arasında.