Yüzyıllar boyunca tarihte büyük matematikçilerin bu alanı geliştirmesine şahit olduk: Pisagor, Thales, Newton, Arşimet… Bu makalemizde ise Öklid’den bahsedeceğiz. Antik çağın ünlü matematikçisi Öklid, ölümsüz eseri Elementler ile bu alanda bir devrim yarattı. Bugün okullarda öğrendiğimiz geometrinin temellerini o attı. Geometrik mantık yürütme, ispat yöntemleri ve sayı teorisi gibi matematiğin pek çok yönü, onun ve çağdaşlarının elinden geçti. Öklid aksiyomları, bağıntıları, kuralları ve algoritması derken ismini matematiğin her alanında görebiliyoruz.
Kanıt olmadan onaylanan, kanıt olmadan reddedilebilir.
Öklid
Şimdi Öklid’in bilimsel keşifleriyle matematiğin tarihine daha yakından bakacağız. Öklid kimdir ve binlerce yıldır değişmeyen bu kurallarıyla matematiğe neler katmıştır, birlikte inceleyelim."
Fibonacci gibi isimleri de daha yakından tanıyabilirsiniz.
Matematikçi Öklid'in Hayatı
Öncelikle Öklid'in hayatı ve matematiğe katkılarından biraz bahsedelim.
Öncüleri Pisagor ve Thales gibi, Öklid’in hayatına dair de kesin bilgiler içeren kayıtlar günümüze ulaşmamıştır. Öklid’in yaşamı ve kişiliği hakkında bildiklerimiz, kendisinden yüzyıllar sonra yaşamış yazarların (özellikle Proclus ve Pappus gibi matematikçilerin) aktardığı sınırlı metinlere dayanmaktadır. MÖ 330 civarında doğduğu tahmin edilen Öklid, çalışmalarını I. Ptolemy döneminde, antik dünyanın bilim merkezi olan Mısır’ın İskenderiye kentinde sürdürmüştür. Burada, bilim tarihinin en önemli kurumlarından biri olan İskenderiye Kütüphanesi ve Müzesi (Mouseion) çevresindeki entelektüel grubun bir parçası olmuştur. Kendisi, Pisagorcular gibi kapalı bir okul kurmak yerine, bilgilerini geniş bir öğrenci kitlesine aktarmış ve ardında büyük bir gelenek bırakmıştır.
Gauss için diğer makalemize de göz atın!
Öklid’in başyapıtı, MÖ 300 dolaylarında kaleme aldığı Elementler (Stoicheia) adlı eseridir. Mantıksal kurgusu o kadar güçlüdür ki, 15. yüzyılda matbaanın icadıyla birlikte İncil’den sonra en çok basılan ve üzerine en çok konuşulan kitaplardan biri olmuştur. 13 kitaptan oluşan bu dev eser; düzlem geometrisi, sayılar teorisi ve irrasyonel sayılar gibi konuları sistematik bir şekilde ele alır. Öklid bu eserinde, kendinden önceki dağınık bilgileri bir araya getirmiş, Pisagor teoremi gibi pek çok teoremi ilk kez aksiyomatik bir sistemle kanıtlamıştır.
Öklid’in Elementler eseri, 1900'lerin başına kadar dünyadaki tüm okullarda ana geometri ders kitabı olarak kullanıldı.
Bu sistematik ispat yöntemi, yüzyıllar sonra Isaac Newton ve modern bilimin kurucuları için mantıksal bir rehber olmuştur. Öklid’in çalışmaları, 19. yüzyıla kadar geometrinin tek mutlak doğrusu olarak kabul edilmiş ve bilim dünyasına yön vermiştir. Antik çağın bu büyük zekası, MÖ 275 civarında İskenderiye’de hayata gözlerini yummuştur.
Öklid’in Çalışmaları
Az önce de bahsettiğimiz gibi Öklid farklı eserler ortaya çıkarmış olsa da en ünlüsü ve en ses getireni Elementler adlı eseri oldu. Kendisi bu eserinde geometri alanında o zamana kadar edinilmiş olan tüm bilgileri tek tek kategorilere ayırmıştı. Eserin ilk altı kitabı geometrik düzleme ayrılmış. Bu kitaplarda üçgenler, paralel çizgiler, Pisagor teoremi, düzlemler, bir dairenin özellikleri, Pentagon’un yapısı ve boyutları arasındaki oranlara dair bilgiler yer alıyor. Bu ilk kitaplar geometrinin temellerini attı ve geometrik şekilleri ve özelliklerini detaylandıran ilk kitaplardan biri olarak kabul edildi.
Antik çağların bir diğer ünlü ismi Arşimet’i daha yakından tanıyın!
1-6. Kitaplar
Düzlem Geometrisi
Nokta, doğru, açı ve üçgen gibi kavramlar ele alınır. Paralel doğruların özellikleri, alan hesaplamaları ve meşhur Pisagor Teoremi bu bölümde ispatlanır.
7-9. Kitaplar
Sayılar Teorisi
Aritmetiğin temelleri atılır. Asal sayıların sonsuzluğu, EBOB (En Büyük Ortak Bölen) hesaplama yöntemi ve mükemmel sayılar bu kitaplarda incelenir.
10. Kitap
İrrasyonel Sayılar
Rasyonel olmayan sayıların geometrik temsilini konu alır.
11-13. Kitaplar
Uzay Geometrisi
Üç boyutlu nesneler; küre, piramit ve küp incelenir. Eser, doğada yalnızca beş tane olan "Platonik Cisimler"in (düzgün çokyüzlüler) ispatıyla görkemli bir final yapar.
Öklid'in matematiğe katkıları arasındaki bu kitaplar, Rene Descartes’in analitik geometriyi keşfetmesine büyük ölçüde yardımcı oldu ve çalışmalarının temelini oluşturdu.
Sonraki üç kitapta ise geometriye değil de aritmetiğe değiniyor. Asal sayıları, iki veya daha çok tamsayıdan oluşan EBOB’un yapısını, mükemmel sayıların neler olduğunu anlatıyor. Elementler eserinin bu kitaplarında ilk bölümlerde günümüzde Öklid bölünmesi olarak adlandırılan ardışık bir çıkarma işlemini anlatıyor.
Bir diğer konu ise irrasyonel sayılar. Son üç kitapta uzayda geometriden bahsediyor. Küre, piramit, küp, oktahedron (sekizyüzlü), ikosahedron (yirmiyüzlü) gibi nesnelerin yapıları inceleniyor.
Elementler eserinden sonra bu kitaplardaki bölümleri geliştirmek ve bunlara eklemeler yapmak isteyen matematikçiler de çeşitli eserler ortaya koydu.
önerme, teorem ve sonuç vardır.
Elementler’in tüm kitapları, bugün okullarda öğretilen matematik müfredatının temelini oluşturuyor. Geometrik düzlem, uzayda geometri, aritmetik… Bunların hepsi ilkokuldan üniversiteye kadar matematik derslerinin bir parçasını oluşturuyor. Elementler eserinin matematiğin kutsal kitabı olarak görülmesinin sebebi de budur.
Yeni ufuklara yelken açan bu eser, yüzyıllar sonra bile matematiksel çalışmalar için referans olabiliyor.
Öklid Bölünmesi Nedir?
Aritmetiğin gösterildiği derslerde Öklid bölünmesinin de adı mutlaka geçer. Aslında ilkokulda öğrendiğimiz bölme işleminden pek bir farkı yok. Tam bölme de denilen bu olay, bölüm ve kalan olarak adlandırdığımız sonuçları veren bölen ve bölünen adı verilen iki tam sayı arasındaki işleme denir. Bir A sayısının (bölünen) bir B sayısına (bölen) Öklid bölünmesi işlemi yaparak tam bölümü bulabiliriz. Ve bölme işleminin sonunda bulunan tam sayı bölene daha fazla bölünemediğinde elimizde kalan sayıya bildiğiniz gibi ‘kalan’ deniyor.
Bölünen = (Bölen x Bölüm) + Kalan
Örneğin 25 sayısını 4’e böldüğümüzde 6 x 4 = 24 işleminden bölüm 6 olur. Daha fazla bölünemeyen 1 rakamına ise kalan denir. İlkokulda öğrendiğimiz gibi bölme işlemi yapmanın en yaygın yolu sola bölüneni, sağa böleni, çizginin altına ise bölümü yazmaktır. Kalan mutlaka bölenden daha küçük olmalıdır. Kalan ‘0’ da olabilir. Bu durumda A’nın B’nin katı olduğunu söyleyebiliriz. Öklid bölümü-bölünmesi temel matematik derslerinin ayrılmaz bir parçasıdır. Ancak bu bölme işlemi ondalık sayıların vs. eklenmesiyle daha karmaşık hâle gelebilir, bölme işlemi devam ettirilebilir.
Bir başka matematikçi Newton'la ilgili daha çok şey öğrenmek için ilgili makalemizi de mutlaka okuyun!
Euler ve Erdős gibi matematik devleri, Öklid'in asal sayılar ve geometri ispatlarını "kusursuz" olarak nitelendirmişlerdir. Özellikle Euler, Öklid'in klasik mantığını modern trigonometriyle birleştirerek bugün kullandığımız ileri mühendislik formüllerine dönüştürmüştür. Erdős ise bu antik ispatları, evrenin en saf gerçekleri olarak kabul edip geliştirmiştir.
Öklid Teoremi Nedir?
Blog yazımızın başından beri Öklid’in mantığından ve kitaplarından bahsettik. Ancak bir öğrenciye "Öklid nedir?" diye sorarsanız, size muhtemelen bir dik üçgen çizecektir. Çünkü günümüz geometri müfredatında Öklid dendiğinde akla gelen ilk şey, dik üçgenlerdeki kenar ve yükseklik bağıntılarıdır.
Öklid teoremi, bir dik üçgende dokuz dairesel açının değil, hipotenüse ait yüksekliğin merkezde olduğu özel bir durumdur. Eğer bir dik üçgende, dik açıdan hipotenüse (en uzun kenar) bir dikme indirirseniz, Öklid bağıntıları başlar.
İşte her öğrencinin bilmesi gereken o meşhur 4 temel kural:
Yükseklik Bağıntısı
Öklid'in en bilinen kuralıdır. Hipotenüse indirilen yüksekliğin karesi, hipotenüs üzerinde ayırdığı parçaların çarpımına eşittir.
- Formül:
- Örnek: Eğer yüksekliğin ayırdığı parçalar 4 cm ve 9 cm ise, yüksekliğin karesi 36, kendisi ise 6 cm'dir.
Aristo meraklılarını bu yazımıza bekliyoruz.
Dik Kenar Bağıntıları
Dik kenarlardan birinin karesi, o kenara yakın olan parçanın uzunluğu ile hipotenüsün tamamının çarpımına eşittir.
- Formüller:
Alan Bağıntısı
Bir dik üçgenin alanını iki farklı yolla hesaplayabiliriz: Ya dik kenarları çarparız ya da hipotenüs ile yüksekliği. Bu da bize şu harika eşitliği verir:
- Formül:
- (Yani: Dik kenarların çarpımı, hipotenüs ile yüksekliğin çarpımına eşittir.)
Eskişehir matematik özel ders alarak veya Türkiye'nin neresinde olursanız olun Superprof ile özel matematik hocanıza ulaşarak çok daha fazla bilgi edinebilirsiniz.
Pisagor teoremi dik üçgenin dış kenarları arasındaki ilişkiyi hesaplar. Öklid teoremi ise dik açıdan hipotenüse bir dikme/yükseklik indiğinde devreye girer. Pisagor kenar uzunluklarını bulmaya, Öklid ise üçgenin içindeki parçalı oranları çözmeye yarar.
Öklid’in Matematiksel Aksiyomları
Öklid, Elementler eserinde birçok aksiyoma yer vermiştir. Aksiyomlar, ispata gerek duyulmadan doğru olduğu kabul edilen önermelere denir. Matematik tarihinde bu eserden sonra hem temel hem de mantıksal tüm matematik kurallarına ‘aksiyom’ denmeye başlandı. Öklidin eserinde şu 5 aksiyomu görebiliriz:
- Herhangi iki noktayı birleştiren düz bir doğru parçası çizilebilir.
- Herhangi bir düz doğru parçası sonsuza kadar uzatılabilir.
- Merkezi ve üzerindeki bir noktası (yarıçapı) verilen bir çember çizilebilir.
- Bütün dik açılar eşittir.
- Bir doğruya dışındaki bir noktadan yalnızca bir paralel doğru çizilebilir.
En Büyük Ortak Bölen (EBOB)
Öklid algoritması da matematik özel ders konuları içinde gösterilen çok önemli bir kavramdır ve en yüksek ortak faktörü bulmak için kullanılır. En büyük ortak bölen yani EBOB, iki tam sayının bölünebileceği en yüksek değere denir. Öklid bölünmesi gibi EBOB da basit aritmetiğin ayrılmaz bir parçasıdır. EBOB’u bulmak için iki sayının tüm bölenlerini listeleyebiliriz.
Mesela 60 ve 42’nin en büyük ortak bölenini bulalım:
- 60: 2, 2, 3, 5
- 42: 2, 3, 7
İşaretlediğimiz ortak bölenleri, yani 2 ve 3'ü çarptığımızda EBOB'u buluruz:
EBOB(60, 42) = 2 x 3 = 6
60 ve 42'yi bölen en büyük sayı 6'dır.
Her sayının tüm bölenlerini tek tek listelemekle uğraşmamak için Öklid algoritması kullanılabilir. Bunun için büyük olan sayıyı küçük olana, kalan 0 olana kadar bölmeniz yeterlidir. Öklid algoritması, Elementler’in yedinci kitabında detaylıca açıklanmıştır. Öklid önce bu çalışmasını geometrik bir problem şeklinde ortaya koyuyor. daha sonra iki parçanın ölçü birimini bulmaya çalışıyor. Bunun için büyük parçayı küçükten çıkarıyor ve ideal ölçüyü bulana kadar bu işleme devam ediyor. Bu yöntem artık tüm bölme işlemlerinin temelini oluşturuyor ve oluşturmaya da devam edecek gibi görünüyor.
Öklid, Newton, Descartes, Thales gibi bilim insanlarının ve matematikçilerin hayatlarını ve matematik dünyasına katkılarını bilmeniz çok önemlidir. Böylece matematiğin sadece sıkıcı işlemler ve rakamlardan ibaret olmadığını da görmüş olursunuz.
Yapay zekâ ile özetle
Makaleyi beğendiniz mi? Puanlayın!
Loading...
