<p>Türev, bir fonksiyonun değişim hızını belirleyen temel bir matematiksel kavramdır. Türev alma kuralları, fonksiyonların türevlerini daha kolay ve hızlı bir şekilde hesaplamamıza yardımcı olur.</p>

Toplamın türevi nasıl alınır?

<p>İki fonksiyonun toplamının türevi = Birinci fonksiyonun türevi + İkinci fonksiyonun türevi. İki fonksiyonun toplamından oluşan bir fonksiyonun türevi, bu fonksiyonların türevlerinin toplamına eşittir.</p>

Türev Alma Kuralları: Adım Adım Açıklamalar

Bir fonksiyonun türevi, fonksiyonun çıktısının girdi değerine göre değişim oranıdır. y = f(x) verildiğinde, f'(x) (veya df(x)/dx) ile gösterilen f(x)'in türevi aşağıdaki limitle tanımlanır:

$\text{[math]}$

Türevin tanımı, bir doğrunun eğimi formülünden türetilir. Bir doğrunun eğiminin, y'deki değişimin x'teki değişime oranı olarak hesaplanan doğrunun değişim oranı olduğunu hatırlayın. Geometrik olarak türev, belli bir noktada eğriye teğet doğrunun eğimidir. Bazen anlık değişim oranı olarak adlandırılır.

Tipik olarak, bir doğrunun eğimini, doğru üzerindeki iki noktayı kullanarak hesaplarız. Bir eğrinin eğimi noktadan noktaya değiştiği için bu bir eğri için mümkün değildir. Yandaki şekle bir bakalım.

Şekilde iki noktalı bir eğri (mavi) gösterilmektedir: (x, f(x)) ve (x + h, f(x + h))). Gri çizgi, bu iki nokta arasındaki eğimi temsil eder ve şu şekilde hesaplanır:

$\text{[math]}$

Az önce bahsettiğimiz türevin tanımına benziyor, değil mi? Ancak bu formül bize eğrinin eğiminin ortalaması olan iki nokta arasındaki eğimi verir. x'teki türev şekilde kırmızı çizgi ile gösterilmiştir. Bu doğrunun eğimini hesaplamak için, eğim formülünü tek bir nokta için kullanılabilecek şekilde değiştirmemiz gerekir. Bunu, h ile gösterilen x'teki (Δx) değişim 0'a yaklaşırken eğim formülünün sınırını hesaplayarak yaparız. Bunu yaparak, çok küçük bir farkla ayrılmış iki nokta arasındaki eğimi buluruz. Tek bir noktadaki eğim, bizi yukarıda belirtilen türevin tanımına götürür.

En iyi Matematik öğretmenleri müsait

Temel Türev Alma Kuralları

a, b birer reel sayı olmak üzere,

$\text{[math]}$ fonksiyonunu ele alalım.

$\text{[math]}$

Bu limit bir reel sayı ise bu limit değerine "f fonksiyonunun $\text{[math]}$ 'daki türevi" denir.

f'( $\text{[math]}$ ), Df( $\text{[math]}$ ) ya da $\text{[math]}$ ile gösterilir.

$\text{[math]}$

Yeşil mavi bordo renklerde eski kapaklı kitaplar — Türevi öğrenmek için farklı kaynaklardan yararlanmak yararınıza olacaktır. İnternettekileri unutmayın! | Kaynak: Unsplash

Başka bir duruma bakalım.

$\text{[math]}$ ve $\text{[math]}$ olsun. $\text{[math]}$ fonksiyonunda

$\text{[math]}$

limiti varsa bu limite f fonksiyonunun $\text{[math]}$ 'daki sağdan türevi denir.

$\text{[math]}$ şeklinde gösterilir.

$\text{[math]}$

Ayrıca $\text{[math]}$ limiti varsa bu limite f fonksiyonunun $\text{[math]}$ 'daki soldan türevi denir.

$\text{[math]}$ şeklinde gösterilir.

f fonksiyonunun, x = a'daki sağdan türevi soldan türevine eşit ise f'nin x = a'da türevi vardır ve bulunan bu limit değerleri, o noktadaki türeve eşittir. Böyle bir durum yoksa türevi yoktur.

f ‘(a⁺) = f'(a^–) ise f fonksiyonunun x = a'da türevi vardır.
f fonksiyonunun x = a'da türevi varsa f fonksiyonu x = a'da süreklidir.
f fonksiyonu, x = a'da sürekli olduğu hâlde, o noktada türeve sahip olmayabilir.
f fonksiyonu x = a'da sürekli değilse türevli de değildir.
Bir fonksiyonun, bir noktada türevinin olması için o noktada süreklilik gerekir. Tabii bu tek başına o noktada türevin olması için yeterli olmaz.

Türevin, hangi fonksiyon olursa olsun, temel kural aynıdır: değişim oranını ölçer.
Isaac Newton

Şimdi gelelim genel türev alma kurallarına.

Sabit Fonksiyonun Türevi

$\text{[math]}$ olmak üzere,
$\text{[math]}$ ise $\text{[math]}$ dir.

Kuvvet Fonksiyonun Türevi

$\text{[math]}$ olmak üzere,
$\text{[math]}$ ise $\text{[math]}$ dir.

$\text{[math]}$ ’in Türevi

$\text{[math]}$ olmak üzere,
$\text{[math]}$ tür.

Toplam ve Farkın Türevi

İki fonksiyonun toplamının türevi aşağıdaki gibidir:

$\text{[math]}$

İki fonksiyonun farkının türevi aşağıdaki gibidir:

$\text{[math]}$

Çarpımın Türevi

$\text{[math]}$

Bölümün Türevi

$\text{[math]}$

Bölümün ve çarpımın türevi, türev problemlerinde en çok göreceğiniz işlemlerdir. Aşağıdaki videoyu da izleyerek farklı sorular çözebilir ve daha karmaşık türev problemlerine geçmeden bilgilerinizi pekiştirebilirsiniz!

Zincir Kuralı: Bileşik Fonksiyonun Türevi

$\text{[math]}$

f ‘(2) gösterimi [f(2)]’ gösterimi ile karıştırılmamalıdır.
f ‘(2) ¹ [f(2)]’ dir. Çünkü f ‘(2) gösterimi, fonksiyonun türevinin, yani f ‘(x) in x = 2 için değeridir.
[f(2)]’ gösterimi, fonksiyonun x = 2 için değerinin (Yani, bir reel sayının) türevidir. [f(2)]’ = 0'dır.

Kuralımız şöyle:

$\text{[math]}$

Mutlak Değer Fonksiyonunun Türevi

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$ olmak üzere,

$\text{[math]}$

f(a) = 0 ise fonksiyonun bu noktada türevi olabilir ya da olmayabilir. Bunu araştırmak için fonksiyonun sağdan ve soldan türevlerine bakılır. Sağdan ve soldan türevler eşit ise fonksiyon bu noktada türevlidir. Değilse türevli değildir.

Mutlak değer fonksiyonu tek katlı köklerde köşe (uç) oluşturur. Köşe (uç) noktalarda türev yoktur
Çift katlı köklerde köşe (uç) oluşmaz. Bunun için, çift katlı köklerde türev vardır ve sıfırdır.

Özel Fonksiyonların Türevleri

Trigonometrik Fonksiyonların Türevi

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$

İşaret Fonksiyonunun Türevi

$\text{[math]}$ ise

$\text{[math]}$

Tam Değer Fonksiyonunun Türevi

$\text{[math]}$ ise

$\text{[math]}$

Köklü Fonksiyonun Türevi

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$

Yani kuralımız şöyle: