Bugün, matematik ve matematiği okumayı seçen birkaç cesur insan için bir sır olarak kalabilecek bir hesap makinesi düğmesinin işlevine bir göz atacağız: "Log" düğmesi!
Bu, cebirle ilgili başka bir ağır konu. Bu yüzden cebir konusunda zaten rahat değilseniz, belki de önce bu konudaki bilgilerinizi tazelemek ve sonra logaritmaya çalışmak en iyisidir.
Peki bu düğme nedir? "log", büyük sayıları ve hesaplamaları ifade etmek için - üslerle birlikte - kullandığımız "logaritmaların" kısaltmasıdır. Ancak "logaritma yasaları" olarak bilinen, logaritma ve üsleri çevreleyen bir dizi yasa vardır; eğer bu kanunları takip etmezsek herhangi bir denklemi çözmeye çalıştığımızda işler ters gidecektir.
Matematik eğitimi boyunca üstel denklemleri çözerken en yararlı logaritmaları bulacaksınız ve nedenini aşağıda göreceksiniz!
Lafı daha fazla uzatmadan bazı logaritma yasalarına ve bunları pratikte zor soruları çözmek için nasıl kullanabileceğinize bakarak başlayalım.
Üstel Fonksiyon
Önce özel bir durumu aradan çıkaralım. Muhtemelen üstel fonksiyonla zaten karşılaşmışsınızdır, basitçe "ex" şeklinde yazılır ve bunu şöyle bir ifadede görebilirsiniz:
y = ex
Logaritma kullandığımızda (logaritmik işlevler olarak da bilinir), "doğal log" olarak bilinen şeyi temsil etmek için tipik olarak "ln" ifadesini kullanırız. Bu, üssün ters işlevidir. Üs tam olarak nedir? "Sabit" olarak bilinen şeydir çünkü asla değişmez. "e", birçok ondalık basamak içeren belirli bir gerçek sayıyı temsil eder, bu nedenle tek bir harf gibi ortak bir gösterim kullanarak onu temsil etmek daha kolaydır. Tıpkı Pi sayısında yaptığımız gibi!
Logaritma kurallarının daha derin bakmaya başlamadan önce doğal logları kullanarak çok hızlı bir örnek soru yapalım.
Doğal Logaritma Örneği
İşte örnek bir soru:
Aşağıdaki üstel denklem için x'i çözün:
0.5 = ex
Bu, ilk bakışta zor görünüyor olabilir. Peki nasıl bir yol izleyebiliriz?
Neyse ki "ln"nin başka bir kullanışlı özelliği daha var: "e"nin tersi. Bu, onu denklemimize ekleyerek üslü sayıyı ortadan kaldırabileceğimiz anlamına gelir. Tıpkı bir denklemi sadeleştirmek için eşitliğin diğer tarafındaki sayıya bölebileceğiniz bir katsayı gibi.
Şimdi bunu yapalım:
ln (0.5) = ln (ex)
Unutmayın, denklemlerde denklemin bir tarafında yaptığımız her şeyin diğer tarafında da yapılması gerekir.
Böylece cevabımızı bulacağız:
ln (0.5) = x
Üstel denklemimiz artık çözüldü! ln(...) ile başka bir şey yapmamıza gerek yok,çünkü bu gerçek bir sayıyı temsil ediyor - herhangi bir grafik veya bilimsel hesap makinesine girin ve görün!
Logaritma Kanunları
Şimdi kanunlara bir göz atalım!
Logaritma yasalarına bakarken akılda tutulması gereken bir şey var. Aşağıdaki tüm örneklerde sadece "loga" kullanıyoruz, normalde logaritmalarla kullanılan gösterim ya logaritma işlevi 10 taban kullanırken "log", ya da "loga"dır. Burada "a", logaritma farklı bir taban kullandığında yazılır.
İfadede herhangi bir taban değişikliği olmaması koşuluyla, herhangi bir taban sistemine herhangi bir yasa uygulanabilir. Örneğin, ifadenizdeki her sayı için 3 tabanını kullandığınız sürece, tüm bu yasalar 3 tabanlı sayılar için de geçerli olur.
Log Yasası 1
logax + logay = loga(xy)
Birinci yasa, aynı tabanlı iki sayının logaritmasını toplamanın, sayıları birlikte çarptıktan sonra logaritmayı almakla aynı olduğunu belirtir.
Log Yasası 2
logax - logay = loga(x/y)
İkinci yasa, aynı tabanlı iki sayının logaritmasını çıkarmanın, iki sayıyı bölmeye ve sonucun logaritmasını almaya eşdeğer olduğunu belirtir.
Log Yasası 3
logaxn=nlogax
Bakacağımız son logaritma yasası size tanıdık gelebilir. Bir ifadenin terimlerini ayırmaya çok benzer! Bir kuvvete yükseltilmiş bir sayının logaritması, tüm logaritmanın o üsle çarpılmasıyla aynıdır, üs orijinal ifadeden çıkarılır.
Diferansiyel ve integrali de öğrenmeye ne dersiniz?
Özet
Bunların hepsi tek başına oldukça basit görünüyor ancak ne yazık ki bir sınavda nadiren bu kadar kolay oluyor. Normalde bir cevap bulmak için herhangi bir sayıda logaritmik fonksiyon kombinasyonunu kullanma olasılığı ile karşı karşıya kalacaksınız.
Logaritmaların özellikleriyle ilgili sorular genellikle bir ifadeyi basitleştirme biçiminde ortaya çıkar. Yani size birkaç farklı logaritmik terim içeren bir ifade verilecek ve bunu mümkün olduğunca normalde sadece bir veya iki terime kadar sadeleştirmeniz gerekecek.
Bu ilk başta göz korkutucu görünse de, her zaman olduğu gibi, bu sorunlara yaklaşmanın en iyi yolu onları küçük parçalara ayırmaktır: Soruyu daha küçük problemlere bölmek, sorunun çok daha kolay yönetilebilir görünmesini sağlar ve bazı terimleri basitleştirmek de sonucu bulmaya yardımcı olur.
Bunu akılda tutarak logaritmik bir ifadeyi basitleştirme örneğine bir göz atalım. Bu bir ifade olduğu ve denklem olmadığı için eşittir işareti olmadığına dikkat edin. Bu, ifadeleri gerçekten "çözemeyeceğimiz" anlamına gelir çünkü bunlar problem değil, sadece matematiksel bir olgu ifadesidir.
Örnek
log4 + 3log2 - log3
Buradaki ifademizde tüm tabanlar 10'dur. Bu nedenle belirli bir tabanı belirtmemize gerek yoktur. Peki, bunu nasıl sadeleştirebiliriz? İlk adımı atabilirseniz gerisi kendiliğinden çözülüp gider.
log4 + log23 - log3
Burada yaptığımız tek şey, yukarıda incelediğimiz logaritma özelliklerinden üçüncüsünü kullanarak ikinci logaritmik fonksiyonu yeniden yazmak. Bu, ifadenin ikinci terimini bir polinom hâline getirmemizi sağlar. Bitirdiğimiz ikinci terim (ve orijinal sorudaki ikinci terimin her ikisi de aynı şeyi değerlendirir) ve sadece farklı şekillerde ifade edilir. İnanmıyorsanız ifadenin sadece ikinci terimini girerek bir hesap makinesinden kontrol edebilirsiniz.
Bunu yeni oluşturduğumuz terim için bir kez ve orijinal terim için bir kez yapın ve her ikisinin de aynı değerde olduğunu göreceksiniz.
Şimdi 2'yi üçün kuvvetine alıp 8'e çevirebiliriz. Haydi öyle yapalım:
log4 + log8 - log3
Şimdi ifademiz daha sade görünmeye başladı. Basit aritmetik yapabilmeye daha da yaklaşıyoruz.
Bir sonraki adım, başka bir terimi kaldırarak ifadeyi daha da basitleştirmektir. Şimdi öğrendiğimiz ilk logaritma yasasını kullanabiliriz, yani iki logaritmayı birbirine eklemek, onların sayısal terimlerini çarpmakla aynı şeydir. Bunu yaptıktan sonra elimizde iki logaritma kalacak. Neredeyse bitti!
log32 - log3
İlk iki sayıyı 32 yapmak için çarpıp ifademizi iki logaritmada sadeleştirdik.
Yukarıya bir göz atın, kullanmadığımız tek bir yasa kaldığını göreceksiniz ve umarız bunun problemimizin son aşamasına tam olarak uyduğunu da görürsünüz! Şimdi iki logaritmayı çıkarabiliriz:
log32 - log3 = log (32/3)
Bu kesri artık basitleştiremeyiz, bu nedenle son cevabımız şu olur:
log (32/3)
Bitti!
Logaritma kuralları için özel matematik dersi alıp bire bir destek alabilirsiniz.
Kalkülüs için size birkaç önerimiz olabilir!
Logaritma Kuralları Özet
İyi haber şu ki logaritma yasaları başlı başına oldukça basit. Gerçekten ihtiyacınız olan tek şey temel aritmetiği sağlam bir şekilde anlamak. Sonra devamını çözeceksiniz.. İşin zorlaştığı yer, daha karmaşık sorunları çözmek için bu yasaları birleştirmek.
Kendinizi logaritma yasalarından herhangi birinde zorlanırken bulursanız yalnızca zorlandığınız yasayı kullanmanızı gerektiren bazı sorulara odaklanın veya kendiniz soru uydurun. Ayrıca matematik özel ders seçeneklerine de göz atabilirsiniz.
Matematik sorularıyla karşılaştığınızda logaritmaların sık sık ortaya çıkması muhtemeldir, bu nedenle bu konuya ait kavramları rahat kullandığınızdan emin olun.
Her şeyde olduğu gibi matematikte de pratik yapmak mükemmelleştirir! Bu matematiksel kavramlar kendi başlarına pek bir şey ifade etmiyor gibi görünse de hepsi büyük bir makinede temel çarklar gibi birleşir! Logaritmik denklemleri ve üs fonksiyonlarını içeren bazı ekstra etkinliklerden hoşlanıyorsanız e(x) ve ln(x) grafiğini çizmeyi deneyin ve herhangi bir kalıp bulabilecek misiniz bir bakın.
Zorlandığınızı hissediyorsanız bu kavramları hatırlamanıza yardımcı olabilecek matematik öğretmeni bulmak için Superprof'u kullanmayı düşünebilirsiniz. Bir şeyden emin değilseniz endişelenmeyin, birçok öğrenci trigonometriden ikinci dereceden denklemleri çözmeye kadar her türlü matematik probleminde zorlanıyor!
Superprof'ta sadece logaritmalar için değil, her konuda akademik destek alabilir, matematik özel ders seçeneklerini değerlendirebilirsiniz.
Hemen bugün Superprof'taki online matematik dersleri seçeneklerinize göz atın.
Bu yazıyı beğendiniz mi? Puanlayın!
Loading...
